Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

gde je(8) M = maxINTERPOLACIJA FUNKCIJA 157x∈[0,0.5]˛˛e x˛˛ = e 0.5 ∼ = 1.648721 .Ako hoćemo da smanjimo grešku interpolacionog polinoma, to najjednostavnijemožemo učiniti uvod¯enjem novog interpolacionog čvora. Izaberimo, na primer,x 3 = 0.4, pa je f(x 3 ) = 1.491825. Za tu svrhu Newtonov interpolacioni polinomje znatno pogodniji od Lagrangeovog, jer ne zahteva ponavljanje celog računskogpostupka. Naime korišćenjem Newtonove interpolacije, imamoP 3 (x) = P 2 (x) + (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ; f] .Dakle, dopunimo tablicu konačnih razlika (6) novouvedenim interpolacionimčvorom x 3 :k [x k ; f] [x k , x k+1 ; f] [x k , x k+1 , x k+2 ; f] [x k , x k+1 , x k+2 , x k+3 ; f]01231.0000001.2214031.6487211.4918251.1070151.4243931.5689600.6347560.7228350.220198Odavde jeNa osnovu (4) imamoP 3 (x) = P 2 (x) + 0.220198 x(x − 0.2) (x − 0.5)= 0.220198 x 3 + 0.480618 x 2 + 1.002084 x + 1 .|f(x) − P 3 (x)| ≤ M 4!| x (x − 0.2) (x − 0.5) (x − 0.4) | (0 ≤ x ≤ 0.5) ,gde je M definisano u (8).Na primer, za x = 0.3 je|f(0.3) − P 2 (0.3)| = 0.001288i|f(0.3) − P 3 (0.3)| = 0.000033 .6.1.5. Koristeći Lagrangeov interpolacioni polinom n-tog stepena funkcijef, izvesti odgovarajući Newtonov interpolacioni polinom sa podeljenimrazlikama.