Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

254 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJARešenje. Cilj je odrediti parametre a i b tako tako da veličinaE(f) =max−1≤x≤1 |ax2 + bx + 1 − f(x)| = max−1≤x≤1 |ax2 + bx + 1|bude minimalna. Za x = 0 važi ax 2 + bx + 1 = 1, pa je E(f) ≥ 1, te ako se a i bmogu odrediti tako da je E(f) = 1, onda je to i mina,b∈R E(f).S obzirom na simetriju problema, zaključujemo da je b = 0 pa je P 2 (x) = ax 2 +1,gde je a < 0. Najzad, iz uslova−1 ≤ ax 2 + 1 ≤ 1 (x ∈ [−1, 1])dobijamo da −2 ≤ a ≤ 0. Ovo znači da je svaki polinom P ∗ 2 (x) = ax 2 + 1, a ∈[−2, 0], najbolji mini-max polinom iz klase polinoma P 2 (x) = ax 2 +bx+1 (a,b ∈ R)za funkciju f(x) ≡ 0 na intervalu [−1, 1].6.2.29. Za polinom trećeg stepena P 3 (x) = ax 3 +bx 2 +cx+d, a,b,c,d ∈ R,na [−1,1] naći u skupu polinoma ne višeg stepena od drugog:a) najbolju srednje-kvadratnu aproksimaciju sa Čebiševljevom težinom,b) najbolju mini-max aproksimaciju.Komentarisati dobijene rezultate.Rešenje. Posmatrajmo opštiji problem od problema datog u zadatku. Naime,razmotrimo problem aproksimacije polinoma P n+1 (x) stepena n + 1 na segmentu[−1, 1], pomoću polinoma n-tog stepena.Polinom P n+1 (x) možemo predstaviti pomoću Čebiševljevih polinoma T k (x)(k = 0, 1, . . . , n + 1) u obliku (videti zadatak 6.2.16)(1) P n+1 (x) = C 0 T 0 (x) + C 1 T 1 (x) + · · · + C n T n (x) + C n+1 T n+1 (x),gde su C k (k = 0, 1, . . . , n + 1) odgovarajuće konstante.Snižavajući stepen ovog polinoma za jedan tako što ,,ukinemo‘‘ član sa polinomomT n+1 (x), tj. sprovodeći postupak ekonomizacije (videti zadatak 6.2.16),dobijamo polinom(2) Q n (x) = C 0 T 0 (x) + C 1 T 1 (x) + · · · + C n T n (x).S obzirom da Čebiševljevi polinomi zadovoljavaju nejednakost |T k(x)| ≤ 1 (x ∈[−1, 1]), k = 0, 1, . . ., imamo ocenu|P n+1 (x) − Q n (x)| ≤ |C n+1 | (x ∈ [−1, 1]) .