Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

236 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAOvaj problem se može rešiti i na drugi način, korišćenjem uslovnog ekstremuma.Naime, ako uvedemo smenu x = (1 − t)/2 dati problem se svodi na odred¯ivanjeaproksimacije za funkciju g(t) = cos πt2 na [−1, 1] u obliku ϕ(t) = C 1`1 − t2´ +C 2`1 −t2´2 , gde su C1 i C 2 nepoznati parametri. Primetimo da je aproksimacionafunkcija parna i da je ϕ(1) = g(1) = 0. Potražićemo rešenje u obliku ϕ(t) =b 0 P 0 (t) + b 1 P 2 (t) + b 2 P 4 (t), gde su P k Legendreovi polinomi, uzimajući u obziruslov ϕ(1) = 0. Opštiji slučaj se može razmatrati, na primer, sa Gegenbauerovimpolinomima, ako se radi o težinskoj funkciji p(t) = `1−t 2´λ−1/2 . U našem slučajutežinska funkcija je jednaka jedinici.Prema tome, minimiziraćemo funkcijuF(b 0 , b 1 , b 2 ) =Z 1−1“cos πt 2X2 −k=0gde je λ Lagrangeov množilac. Iz uslovaiZ∂F 1 “= −2 cos πt∂b i −12 − 2Xk=0” 22Xb k P 2k (t) dt − λ b k P 2k (1),k=0”b k P 2k (t) P 2i (t)dt − λP 2i (1) = 02Xb k P 2k (1) = 0 ,k=0i uzimajući u obzir da je P 2i (1) = 1 i ‖P k ‖ 2 = 22k + 1 , nalazimo2(2) R 2i − b i + λ = 0 (i = 0, 1,2) ,4i + 1(3) b 0 + b 1 + b 2 = 0 ,gde je R 2i skalarni proizvodR 2i =Na osnovu (2) imamo(4) b i = 4i + 12“cos πt ” Z 12 , P 2i = cos πt−1 2 P 2i(t) dt .(λ + R 2i ) (i = 0, 1,2) .