Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

1 ◦ uopštene trapezne formule;2 ◦ uopštene Simpsonove formule.U oba slučaja oceniti grešku.NUMERIČKA INTEGRACIJA 289x k f(x k ) x k f(x k )0.0 1.1283792 0.6 0.78724340.1 1.1171516 0.7 0.69127490.2 1.0841328 0.8 0.59498580.3 1.0312609 0.9 0.50196860.4 0.9615413 1.0 0.41510750.5 0.8787826Rešenje. Ovde imamo f(x) = 2 √ πe −x2 , (a, b) = (0,1), h = 1 10 . Stavimof k = f(x k ) (k = 0,1,2, . . . ,10).1 ◦ Po uopštenoj trapeznoj formuli imamoZ2 1√ e −x2 dx = 1 „ 1π 10 2 f 0 + f 1 + f 2 + · · · + f 9 + 1 «2 f 10 + R(f),0gde je (videti [2, str. 147])(b − a)3R(f) = −12n 2 f ′′ (ξ) = − 11200 · 2”√“4ξ 2 − 2 e −ξ2πi 0 < ξ < 1. S obzirom da je(1) |R(f)| ≤ |R(f)| ξ=0 =1300 √ π < 2 · 10−3 ,vrednost f k dovoljno je uzeti na četiri decimale, imajući pri tome na umu da greškezaokrugljivanja neće uticati na tačnost izračunavanja. Tako imamoH(1) ∼ = 1 „ 1 · 1.1284 + 1.1172 + 1.0841 + 1.031310 2+ 0.9615 + 0.8788 + 0.7872 + 0.6913+ 0.5950 + 0.5020 + 1 2 · 0.4151 «,tj. H(1) ∼ = 0.842015. Zaokrugljujući dobijeni rezultat na tri decimale (red veličineostatka(1)) dobijamo H(1) ∼ = 0.842.