Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 1636.1.10. Neka su (a,A), (b,B), (c,C) tri tačke krive x ↦→ f(x) u blizininjene nule. Metodom inverzne interpolacije, približno odrediti koren jednačinef(x) = 0. Na osnovu tog rezultata, konstruisati iterativni proces zarešavanje jednačine f(x) = 0.Rešenje. Ako smatramo da je funkcija x ↦→ y = f(x) monotona na segmentu[α, β] koji sadrži njenu nulu i a, b, c ∈ [α, β], tada, za taj segment, postoji inverznafunkcija y ↦→ f −1 (y).Lagrangeov interpolacioni polinom za funkciju y ↦→ f −1 (y), konstruisan naosnovu podatakaje dat sax = ay k A B Cf −1 (y k ) a b c(y − B)(y − C) (y − C)(y − A) (y − A)(y − B)+ b + c(A − B)(A − C) (B − C)(B − A) (C − A)(C − B) .Vrednost x, u oznaci d, za koju je y = 0, je data sa(1) d =aBC(A − B)(A − C) + bCA(B − C)(B − A) + cAB(C − A)(C − B) .Neka je ξ koren jednačine f(x) = 0 i neka su a = ξ + α, b = ξ + β, c = ξ + γaproksimacije tog korena. Ako stavimo da je d = ξ + δ, na osnovu (1) dobijamoδ =αBC(A − B)(A − C) + βCA(B − C)(B − A) + γAB(C − A)(C − B)= αβγ(P − Q + P 2 ) (1 + o (αβγ)) ,gde je P = f ′′ (ξ)/2f ′ (ξ), Q = f ′′′ (ξ)/6f ′ (ξ) (f ∈ C 3 [α, β]). Dakle,(2) δ ∼ Kαβγ ,gde je K konstanta.a) Formula (1) sugeriše konstrukciju tro-tačkastog iterativnog procesa ako uzmemoa = x n−2 , b = x n−1 , c = x n , d = x n+1 , tj.(3)x n+1 =+x n−2 y n−1 y n(y n−2 − y n−1 )(y n−2 − y n ) + x n−1 y n−2 y n(y n−1 − y n )(y n−1 − y n−2 )x n y n−2 y n−1(y n − y n−1 )(y n − y n−2 ) .