Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

LINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 349S obzirom da prvi karakteristični polinom ima dvostruku nulu ξ 1,2 = 1 samodulom koji je jednak jedinici, zaključujemo da metod (1) nije nula-stabilan, asamim tim ni konvergentan.Za problem(2) y ′ = y , y(0) = 1 ,čije je tačno rešenje y(x) = e x , primenom metoda (1) dobija se diferencna jednačina(3) (2 − h) y n+2 − 4 y n+1 + (2 + h) y n = 0 .U ovom jednostavnom slučaju model-problema, lako rešavamo diferencnu jednačinu(3) čija je karakteristična jednačina(2 − h)r 2 − 4r + (2 + h) = 0 .Koreni ove jednačine su r 1 = 2 + h2 − h , r 2 = 1, pa je opšte rešenje diferencne jednačine(3) dato sa„ « n 2 + h(4) y n = A 1 + A 2 .2 − hKorišćenjem početnih vrednosti y 0 = 1 i y 1 = 1 ∼ = y(h), dobijamo sistem jednačinaA 1 + A 2 = 1,A 1 + 2 + h2 − h A 2 = 1,okakle su A 1 = 1, A 2 = 0, a zatim, na osnovu (4), y n = 1.Dakle, za model problem (2), čije jetačno rešenje dato sa y(x) = e x , metod(1) sa dobrim startnim vrednostima y 0 =y 1 = 1 (utoliko tačnijim ukoliko je hmanje), daje konstantno rešenje y n = 1,što lepo ilustruje divergenciju posmatranogmetoda (videti sliku 1).Sl. 1.