Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 287Izvodi se mogu sukcesivno izračunavati pomoćuH ′ (x) = 2 √ πe −x2 , H ′′ (x) = −2xH ′ (x) , H ′′′ (x) = −2xH ′′ (x) − 2H ′ (x),tj.(2) H (k) (x) = −2x H (k−1) (x) − 2(k − 2)H (k−2) (x).Pretpostavimo da nam je za dato x poznata vrednost H(x). Definišimo nizove{a k } i {b k } pomoću(3)a 0 = H(x), a 1 = 2 √ πe −x2 ,a k = −2x a k−1 − 2(k − 2) a k−2 (k = 2, . . . , n) ,(4) b 0 = 1 , b k = h k b k−1 (k = 1, 2, . . . , n).Tada, s obzirom na (1) i (2), imamoH(x + h) ∼ = P n + N n ,gde su P n i N n sledeće sume (sa parnim i neparnim indeksima, respektivno):P n = a 0 b 0 + a 2 b 2 + · · · i N n = a 1 b 1 + a 3 b 3 + · · · .Stavljajući u (1) h := −h, vidimo da jeH(x − h) ∼ = P n − N n .Ova razlika nam koristi za proveru vrednosti u tački x−h, koja je ranije izračunata.Startujući sa x = 0, H(0) = 0 i uzimajući n = 6, izloženim postupkom nalazimoredoma 0 = 0 , a 1 = 1.12837917 , a 2 = 0 , a 3 = −2.25675833 ,a 4 = 0 , a 5 = 13.5405500 , a 6 = 0;b k = (0.1)kk!(k = 0,1, . . . ,6) ;P 6 = a 0 b 0 + a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 6 b 6 = 0;N 6 = a 1 b 1 + a 3 b 3 + a 5 b 5 = 0.112462919 ;H(0.1) ∼ = P 6 + N 6 = 0.112462919 .