Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

210 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAa zatim za aproksimaciju korena jednačine (1) iskoristiti rešenje jednačineF(x) = 0. Na osnovu prethodnog, formirati iterativni proces za rešavanjejednačine (1).Rešenje. U prethodnom zadatku izložili smo postupak Pronyeve interpolacije,gde smo uočili da je za ovaj postupak potrebno 2n (n = 1,2, . . . ) ekvidistantnihinterpolacionih tačaka koje, u tom slučaju, potpuno odred¯uju oblik interpolacionefunkcije. Med¯utim, prethodnim fiksiranjem nekih od korena karakterističnejednačine (3) iz zadatka 6.1.36, može se uticati na oblik partikularnih rešenja, tj.na oblik interpolacione funkcije. Modifikaciju Pronyeve interpolacije u ovom smisluzvaćemo dirigovana Pronyeva interpolacija. Ovakva modifikacija omogućuje da sebroj interpolacionih čvorova smanji.Primenimo postupak dirigovane Pronyeve interpolacije. Uzmimo h = (β −α)/2i x 0 = α , x 1 = α + h , x 2 = α + 2h = β. Tada je f k = f(x k ) (k = 0, 1,2).Izabrani interpolacioni čvorovi su dovoljni za odred¯ivanje nepoznatih parametara uinterpolacionoj funkciji (2). Zaista, ako za karakterističnu jednačinu (3) iz zadatka6.1.36 uzmemo(r − 1)(r − r 1 ) = 0 ,tj.(3) r 2 − (1 + r 1 ) r + r 1 = 0 (a 1 = r 1 , a 2 = −(1 + r 1 )) ,funkcija (1) iz zad. 6.1.36 se svodi na (2), ako je r 1 > 0. Kao što ćemo videti,poslednji uslov zahteva monotonost funkcije f na segmentu [α, β]. Koren r 1 karakterističnejednačine (3) lako se dobija iz relacije (2) u zad. 6.1.36, za k = 0, tj. izDakle,f 0 r 1 − f 1 (1 + r 1 ) = −f 2 .(4) r 1 = (f 2 − f 1 )/(f 1 − f 0 ) = ∆ f 1 /∆ f 0 .Kako je r 1 > 0 za monotonu funkciju f imamoF(x) = C 1 + C 2 r (x−x 0)/h1,gde su, s obzirom na F(x k ) = f k (k = 0, 1),(5) C 1 = f 0 − ∆ f 0r 1 − 1i C 2 = ∆ f 0r 1 − 1 .Ako koren jednačine F(x) = 0, u oznaci ¯x, uzmemo za aproksimaciju korenajednačine f(x) = 0, dobija se osnovna formula Riddersovog metoda„log − C «1C 2(6) ¯x = x 0 + h .log r 1