Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

za iterativnu funkcijuvažiNELINEARNE JEDNAČINE 123φ(x) = x − 1 4264u(x) +φ(x) − a = e − 1 4 u − 3 4 · f“f ′ x − 2 ”3 u33f(x) 7“f ′ x − 2 ” 53 u(x)= e − 1 4 (e + αe2 + βe 3 + O(e 4 )) − 3 4 (e + Ae2 + Be 3 + O(e 4 ))= − 1 4 (α + 3A)e2 − 1 4 (β + 3B)e3 + O(e 4 ).Kako je α + 3A = 0, β + 3B = − 2 3 (f ′′ 2 /f′2 ), to jeφ(x) − a = 1 6Dakle, r = 3 i C 3 = |f ′′ 2 (a)/(6f′2 (a))|.f ′′ 2 (a)f ′2 (a) e3 + O(e 4 ).5.1.17. Za rešavanje jednačine f(x) = 0, koja na segmentu [c,d] imavišestruki koren x = a, koristi se iterativni proces(1) x k+1 = x k − u(x (k)u ′ 1 + 1 (x k ) 2gde je u(x) = f(x)/f ′ (x).u(x k )u ′′ )(x k ), k = 0,1,... ,u ′2 (x k )Odrediti red konvergencije r datog iterativnog procesa (1), ako je funkcijaf(x) dovoljan broj puta neprekidno diferencijabilna na segmentu [c,d].Rešenje. S obzirom da višestrukost korena a jednačine f(x) = 0 nije poznata,to ćemo rešavati ekvivalentnu jednačinu u(x) = f(x)/f ′ (x), koja ima prost korenx = a.Na rešavanje jednačine u(x) = 0 primenimo Newtonov metod(2) x k+1 = x k − u(x k)u ′ (x k ) ,