Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 165tj. r = 1 + 2 , odakle je r = 2. Dakle, imamore n+1 ∼ M e 2 n ,a indeks efikasnosti ovog iterativnog procesa je+ EFF = 21/2 ∼ = 1.414 ,s obzirom da zahteva izračunavanje y n i y ∗ n po iterativnom koraku.Opštije, x ∗ n u (4) možemo uzeti kao linearnu kombinaciju od x n i x n−1 sa parametromg, tj. x ∗ n = g x n + (1 − g)x n−1 , g ≠ 1. Za g = 1, x ∗ n = x n , na osnovu(4) imamo(7)x n+1 =x n−1 yn2 j „(y n−1 −y n ) 2 + limyn−1x ∗ n →x n yn−y ∗ nj= x n−1 y 2 n(y n−1 −y n ) 2 + limx ∗ n →x nx∗ n y nyn−y ∗ −x n y ∗ «ffnn−1 yn−y ∗ n−1„yn−1 x∗ n y n − x n y ∗ «ffny n −y n−1 yn−y ∗ − x∗ n y nn yn−y ∗ n−1= y n (x n−1 y n −x n y n−1 )(y n −y n−1 ) 2 + y „n−1 yn −x n y n′y n − y n−1 y n′Geometrijski, x n+1 predstavlja nulu parabole koja prolazi kroz tačku sa koordinatama(y n−1 , x n−1 ) i tangira krivu y ↦→ x = f −1 (y) u tački (y n , x n ). Na osnovu(5), za iterativni proces (7), važie n+1 ∼ K e 2 n e n−1 ,pa ako stavimo e n+1 ∼ L e r n, tada je r = 2 + 1 r i r = 1 + √ 2, tj.«.Indeks efikasnosti ovog procesa jee n+1 ∼ L e 2.414 .+ EFF = (2.414)1/2 ∼ = 1.554s obzirom da zahteva vrednosti y n i y ′ n po iterativnom koraku.Na kraju, uzmimo da je x ∗ n u (4) odred¯eno metodom sečice, tj.x ∗ n = x n−1 y n − x n y n−1y n − y n−1,pri čemu jee ∗ n ∼ L e n e n−1