Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

DIREKTNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 67Sada sistem (4) rešavamo sukcesivno polazeći od poslednje jedačine. Dobijamoy 3 = 9−9 = −1 ,y 2 = 1 [0 − 6 · (−1)] = −1 ,−6y 1 = 1 [1 − 2 · (−1) − (−4) · (−1)] = −1 .1S obzirom na smenu (1), rešenje sistema Ax = b je dato sax 1 = y 1 = −1 ,x 2 = y 210 = −0.1 ,x 3 = y 3100 = −0.01 .Napominjemo da se pri rešavanju većih sistema linearnih jednačina na računskojmašini, preporučuju modifikacije Gaussovog metoda poznate pod nazivomGaussov metod sa izborom glavnog elementa (videti [1, primer 2.2.2 na str. 231–233]) i Gaussov metod sa totalnim izborom glavnog elementa (videti [1, str. 233]).Primedba. Preporučujemo čitaocu da odredi k(A).4.1.2. Gaussovom metodom sa izborom glavnog elementa rešiti sistemjednačina Ax = b, gde je⎡A = ⎣ 2 4 6⎤ ⎡3 2 1 ⎦ , x = ⎣ x ⎤ ⎡1x 2⎦ , b = ⎣ 4 ⎤2 ⎦ .4 1 2 x 3 3Rešenje. Dopišimo matrici A kolonu koja predstavlja elemente vektora b, tj.2A b = 4 2 4 6 | 433 2 1 | 2 5 .4 1 2 | 5Pristupimo sada trougaonoj redukciji matrice A po Gaussovom algoritmu saizborom glavnog elementa.U prvom eliminacionom koraku pronalazimo, u prvoj koloni počev od prve vrstematrice A b element koji je najveći po modulu (4), te pripadnu vrstu (III) permutujemosa prvom, tj.2A b ↦→ A 1 = 4 4 1 2 | 533 2 1 | 2 5 .2 4 6 | 4