Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

Na dalje, za k > 1, imamoW k =˛INTERPOLACIJA FUNKCIJA 15310.01a 1 + x· · ·1a k + x−1−1(a 1 + x) 2 (a k + x) 2(−1) k k!(a 1 + x) k+1 (−1) k k!(a k + x) k+1 ˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛,tj.1 · · · 1W k =kQ(−1) i i!i=1kQ(a i + x)˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛2i=11a 1 + x.1a k + x11(a 1 + x) k−1 (a k + x)˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛ k−1Kako je determinanta na desnoj strani u poslednjoj jednakosti Vandermondeova,to je.W k ==kQ(−1) i i!Yi=1kQ(a i + x) 2 i>ji=1„ 1a i + x − 1 «a j + x(−1) k(k+1)/2 Q k i! Q `aj − a i´i=1i>jkQ(a i + x) 2 Q (a i + x) `a j + x´ ,i=1i>jtj.W k = (−1) k(k+1)/2 k Yi=1i! Y(a i + x) k+1i>j`aj − a i´.S obzirom da su a i med¯usobno različiti pozitivni brojevi, zaključujemo da jeW k ≠ 0 (k = 0,1, . . . , n) za svako x ∈ [0,+∞), čime je dokaz završen.