Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 129respektivno. Ako stavimo da je S k = − log |e k | i T k = − log |η k |, tada suS k+1 = −log C a + r a S k i T k+1 = − log C b + r b T k .Rešenja ovih nehomogenih linearnih diferencnih jednačina sa konstantnim koeficijentimasu data saS k = S 0 r k a − log C (rk a −1)/(r a−1)a , T k = T 0 r k b − log C (rk b −1)/(r b−1)b.Ako oba iterativna procesa startuju sa istom početnom vrednošću tada je S 0 = T 0 .Pretpostavimo da metod (a) postiže zadatu tačnost posle I, a metod (b) posle Jiteracija. Tada je S I = T J , odakle sleduje(2) S 0“r I a − r J b”+ log C(rJ b −1)/(r b−1)bC (rI a −1)/(r a−1)a= 0 .Ako su ,,cene iteracija‘‘ metoda (a) i (b), označene sa θ a i θ b respektivno, tada suukupne ,,cene‘‘ posle I odnosno J iteracija, date saodakle jeL a = I θ a , L b = J θ b ,(3) L a = I J · θaθ b· L b .Iz jednačine (2) nije moguće generalno dobiti odnos I J .Med¯utim, ako za metod (a) uzmemo metod sečice a za (b) Newtonov metod,to je ipak moguće. S obzirom da je tada r a = (1 + √ 5)/2, r b = 2, C a = C r a−1b,(videti [1]), (2) se svodi naodakle sledujeh iS 0 (ra I − rb J ) + log (C b ) rJ b −rI a= 0 ,(4)IJ = log r blog r a.Zamenom (4) u (3) dobijamoL a = θ a log r bθ b log r aL b .