Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

364 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINANa osnovu (6) i (8) imamoΦ T (x, y, h) − Φ(x, y, h) = O(h 3 ),a kako smo prethodno već zaključili da je red metoda dat zadatkom p ≤ 3, sadamožemo da tvrdimo da je p = 3.U slučaju kada f ne zavisi od y, tj. kada je (1) oblika y ′ = f(x), korišćenjemmetoda Runge-Kutta datog zadatkom, dobijamo kvadraturnu formuluZ a+haf(x)dx =Z a+ha∼= h 10y ′ (x)dx = y(a + h) − y(a)h “f(a) + 5f a + h ”+ 4f“a + 5 ”i3 6 h .8.3.2. Izvesti opštu formulu Runge-Kutta drugog reda, oblika(1) y 0 = Y, y n+1 = y n + h(A(a)k 1 + B(a)k 2 ), n = 0,1,... ,N − 1,gde suk 1 = f(x n ,y n ), k 2 = f(x n + ah,y n + ahk 1 ) (0 < a ≤ 1),za rešavanje Cauchyevog problemay ′ = f(x,y), y(x 0 ) = Y.Primenom formule (1), za slučaj A(a) = B(a), odrediti y(0.5) za problemy ′ = 2xy − 2x 2 + 1, y(0) = 1,uzimajući h = 0.1.Rešenje. Na osnovu (1) imamoΦ(x n , y n , h) = y n+1 − y nh= A(a)k 1 + B(a)k 2 .Imajući u vidu da je k 1 = f, razvijanjem funkcije k 2 u Taylorov red u okolini tačke(x n , y n ), dobijamok 2 = f(x n + ah, y n + ahf) = f + ahf x + ahff y + O(h 2 ) = f + aFh + O(h 2 ),