Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 3117.2.22. Koristeći se Gauss–Čebiševljevom kvadraturnom formulom dokazatiformulu∫ ( )1e ax(1) ( ) dx = π 1 + 2cosh a√ 3+ R,1 − x21/2 3 2−1gde je R ostatak koji treba odrediti.Rešenje.Gauss–Čebiševljeva kvadraturna formula (videti [2, str. 174])(2)Z 11f(x)`1 − x 2´1/2 dx = π nnXf(x k ) + R n (f),k=1gde su čvorovi x k nule Čebiševljevog polinoma T n(x), tj. x k = cosk = 1,2, . . . , n, i ostatak(3) R n (f) =za n = 3 se svode na(4)Z 1−1f(x)`1 − x 2´1/2 dx = π 3π2 2n−1 (2n)! f(2n) (ξ) (−1 < ξ < 1) ,„f„ √ «„3+ f(0) + f −2√3Ako u (4) stavimo f(x) = e ax dobijamo formulu (1), gde jeR = πa423040 eaξ (−1 < ξ < 1) .Na primer, za a = 1, R ≤ 3.71 · 10 −4 . Dakle,Z 1−1e x`1 − x 2´1/2 dx ∼ = 3.97732 + R .2(2k − 1)π,2n««+ π23040 f(4) (ξ).7.2.23. Sa tačnošću 10 −4 odrediti vrednost integrala(a)∫ 10∫cos 2x1√ dx; (b) 1√ dx.1 − x2 1 − x40Rešenje. U oba slučaja primenjujemo Gauss–Čebiševljevu kvadraturnu formulu(videti formulu (2) iz prethodnog zadatka).