Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

10 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEZa apsolutnu grešku razlike brojeva sada imamo|u−u| = |(y 1 −y 2 )−(y 1 −y 2 )| = |(y 1 −y 1 )−(y 2 −y 2 )| ≤ |y 1 −y 1 |+|y 2 −y 2 | = 10 −5 .S ozirom da jeu = y 1 − y 2 = 0.00024,za relativnu grešku razlike imamo|u − u||u|∼=|u − u||u|≤10−524 · 10 −5 ∼ = 0.42 · 10 −1 ,pa imajući u vidu (4) iz zadatka 2.1.1, zaključujemo da u = 0.24·10 −3 aproksimiratačnu vrednost u = y 1 − y 2 sa dve značajne cifre.Dakle, pri oduzimanju približno istih brojeva, došlo je do “gubitka” značajnihcifara (operandi su imali po 6 značajnih cifara, a rezultat ima samo dve značajnecifre). Naravno, s ozirom da je broj značajnih cifara povezan sa granicom relativnegreške (videti (4) iz zadatka 2.1.1) to u stvari znači da je došlo do povećanja granicerelativne greške (sa 10 −5 na 10 −1 ). To je i logično s obzirom da je pri oduzimanjupriblizno istih brojeva rezultat daleko manji od svakog od operanada ponaosob,naravno, posmatrano po modulu.Može se pokazati (videti [1, str. 21–23]) da nema gubitka značajnih cifara kodostalih računskih operacija (sabiranja, množenja i deljenja).2.1.4. Odrediti granicu apsolutne i relativne greške približne vrednostifunkcijef = x2 + y √ zx + 2yako se izračunava na računskoj mašini koja radi sa mnogo većom tačnošćunego što je tačnost zaokruženih približnih vrednosti argumenatax = 1.24, y = 0.66, z = 1.96.Rešenje. Neka sue x = x − x, e y = y − y, e z = z − zgreške argumenata, a odgovarajuće relativne greške(1) r x = e xx ,r y = e yy ,r z = e zz .