Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 323uporediditi rezultate dobijene formulom Gaussovom tipa i kvadraturnomformulom iz prethodnog zadataka.Rešenje. S obzirom da se radi o Jacobievoj težinskoj funkciji na (−1,1), saparametrima α = −β = 1/2, tj. p(x) = (1 − x) 1/2 (1+x) −1/2 , tročlana rekurentnarelacija za monične Jacobieve polinome(1) Q k+1 (x) = (x − β k )Q k (x) − γ k Q k−1 (x),gde su (videti [1, Tabela 2.13.1, str. 148])β k =svodi se naβ 2 − α 2(2k + α + β)(2k + α + β + 2) , γ k =4k(k + α)(k + β)(k + α + β)(2k + α + β) 2`(2k + α + β) 2 − 1) ,(2) Q k+1 (x) = xQ k (x) − 1 4 Q k−1(x), k = 1, 2, . . . .Prva tri člana moničnog ortogonalnog niza su:Q 0 (x) = 1, Q 1 (x) = 1 2 (2x + 1), Q 2(x) = 1 4`4x2 + 2x − 1´.Uvedimo normalizaciju takvu da umesto moničnih polinoma Q k (x) radimo sa ortogonalnimpolinomima W k (x) = 2 k Q k (x) (k = 0,1, . . . ). Dakle, koeficijent uznajviši stepen u W k (x) je a k = 2 k , tako da su sadaW 0 (x) = 1, W 1 (x) = 2x + 1, W 2 (x) = 4x 2 + 2x − 1.Zamenom Q k (x) = 2 −k W k (x) u (2) daje rekurentnu relaciju(3) W k+1 (x) = 2xW k (x) − W k−1 (x), k = 1,2, . . . .Za polinome W k (x) moguće je naći eksplicitan izraz rešavanjem jednačine (3) kaolinearne diferencne jednačine drugog reda, pri fiksiranoj vrednosti za x. Njenakarakteristična jednačina je λ 2 − 2xλ + 1 = 0, čiji su koreni λ 1,2 = x ± i √ 1 − x 2 .Ako za −1 ≤ x ≤ 1 stavimo x = cos θ, imamoOpšte rešenje jednačine (3) je tadaλ 1,2 = cos θ ± i sin θ = e ±iθ .W k (cos θ) = C 1 cos kθ + C 2 sin kθ,