Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

340 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAi na kraju, a s obzirom da nas interesuje samo prva komponenta vektora y [4] (toje z [4]1= y [4] ), dobijamoy [4] = z [4]1= 1 +Z x0„2t + 2t 3 + 8 15 t5 «dt = 1 + x 2 + x42 + 8 90 x6 .S obzirom da će zadnji sabirak u izrazu za z [4]1pretrpeti transformaciju u narednojaproksimaciji, što zaključujemo iz prethodnog ponašanja novodobijenih aproksimacija,možemo uzeti da jey ∼ = 1 + x 2 + x42 + · · · ,pa kako je e x = +∞ P x kk=0 k! , imamo da je y ∼ = e x2 . S obzirom da y = e x2 zadovoljavadiferencijalnu jednačinu i početne uslove date zadatkom, zaključujemo da je to itačno rešenje datog problema.8.2. Linearni višekoračni metodi8.2.1. Za koje vrednosti parametra b je metod(1) y n+3 −y n+2 +b y n+1 −b y n = h 12 [(23 − b) f n+2 − 8(2 − b)f n+1 + 5(1 + b) f n ]konvergentan. Za tako dobijene vrednosti parametra b ispitati red metoda.Rešenje. Opšti linearni višekoračni metod za rešavanje Cauchyevog problema(2) y ′ = f(x,y) , y(x 0 ) = y 0 (x 0 ≤ x ≤ b) ,može se predstaviti u obliku(3)kXkXα i y n+i = β i f n+i (n = 0, 1, . . .),i=0 i=0gde {y n }„označava niz približnih vrednosti rešenja problema (2) u tačkama x n =x 0 + nh h = b − x «0, n = 0,1, . . . , N i f n ≡ f(x n , y n ), a α i i β i su konstantniNkoeficijenti koji definišu linearni višekoračni metod. Da bi se obezbedila njihovajednoznačnost, uzima se α k = 1.