Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 317i ostatak R 3 (f), ako je težinska funkcija p(x) = |x|(1 − x 2 ).Rešenje. Neka je {Q k } n∈N0 niz ortogonalnih polinoma na (−1,1) sa težinskomfunkcijom x ↦→ p(x) = |x|(1 − x 2 ) i neka je a k koeficijent uz najviši stepen u polinomuQ n , tj. Q k (x) = a k x k + članovi nižeg stepena. Za Gaussovu kvadraturnuformulu sa n čvorova važi:a) x k , k = 1, . . . , n, su nule ortogonalnog polinoma Q n ,b) A k = a n ‖Q n−1 ‖ 2a n−1 Q n−1 (x k )Q ′ , k = 1, . . . , n,n(x k )c) R n (f) = ‖Q n‖ 2(2n)!a 2 f (2n) (ξ),nξ ∈ (a,b).Na osnovu navedenih formula, za naš zadatak, imamo:Q 3 (x) = x 3 − 1 “2 x = x x 2 − 1 ”2√ √22=⇒ x 1 = −2 , x 2 = 0, x 3 =2 ,Q 3 (x) = x 3 − 1 2 x =⇒ a 3 = 1; Q 2 (x) = x 2 − 1 3 =⇒ a 2 = 1,A 1 =Z 1−1‖Q 2 ‖ 2 = (Q 2 , Q 2 ) = 1 36 , Q′ 3(x) = 3x 2 − 1 2 ,‖Q 2 ‖ 2Q 2 (x 1 )Q ′ 3 (x 1) = 1 6 , A 2 =‖Q 2 ‖ 2Q 2 (x 2 )Q ′ 3 (x 2) = 1 6 , A 3 =‖Q 3 ‖ 2 = (Q 3 , Q 3 ) = 1120 =⇒ R 3(f) = ‖Q 3‖ 2f (6) (ξ),6!Dakle, tražena kvadraturna formula je|x|(1−x 2 )f(x)dx = 1 6gde ξ ∈ (−1,1).„ „f −√22«+ f(0) + fPrimedba. Napraviti pored¯enje ovog zadatka sa prethodnim.‖Q 2 ‖ 2Q 2 (x 3 )Q ′ 3 (x 3) = 1 6 ,ξ ∈ (−1,1).„ √ «« 2+1.1574·10 −5 f (6) (ξ),27.2.27. Odrediti parametre i ostatak u Gaussovoj kvadraturnoj formuli∫ 10f(x)√x(1 − x)dx = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + R(f),