Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 137Osnovu metoda proste iteracije čini konstrukcija niza aproksimacija {x (k) } poformuli(5) x (k+1) = ϕ(x (k) ), k = 0,1,2, . . . ,koji, pod odred¯enim uslovima, konvergira ka rešenju x ∗ sistema (4) ili, što jeekvivalentno, ka rešenju sistema (2).Označimo sa2∂ϕ 1(x)∂x 1 ∂ϕ 2(x)(6) ϕ ′ ∂x(x) =1 6 .4 ∂ϕ n(x)∂x 1∂ϕ 1(x) . . .∂x 2∂ϕ 2(x)∂x 2∂ϕ n∂x 2(x)3∂ϕ 1(x)∂x n ∂ϕ 2(x)∂x n 7∂ϕ n5(x)∂x nOvaj metod zasnovan je na sledećoj teoremi: Neka je vektorska funkcija ϕdefinisana na ograničenoj, zatvorenoj, konveksnoj oblasti D ⊂ R n , koju preslikavau sebe, tj. za svako x ∈ D je takod¯e ϕ(x) ∈ D. Neka funkcije ϕ i ,i = 1,2, . . . , n, imaju u D neprekidne parcijalne izvode prvog reda po svimpromenljivim x 1 , x 2 , . . . , x n . Neka dalje egzistira konstanta q, 0 ≤ q < 1, takvada ‖ϕ ′ (x)‖ ≤ q za svako x ∈ D. Tada:a) Postoji jedinstveno rešenje x ∗ ∈ D sistema (4),b) Za proizvoljni izbor startne vrednosti x (0) ∈ D važe ocene (za aproksimacijex (k) dobijene pomoću (5)):‖x (k) − x ∗ ‖ ≤‖x (k) − x ∗ ‖ ≤c) Iterativni metod konvergira, tj.q1 − q ‖x(k) − x (k−1) ‖, k = 1,2, . . . ,qk1 − q ‖x(1) − x (0) ‖, k = 1,2, . . . .limk→+∞ x(k) = x ∗ .Pred¯imo sada na rešavanje našeg zadatka. Zadat je sistem u obliku f(x) = 0gde je f = [f 1 f 2 ] ⊤ . Ovde suf 1 (x,y) = 4y 2 + 20x + 4y − 15, f 2 (x, y) = 4x 2 − 4y 2 + 8x − 20y − 5.