Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 215pa je aproksimaciona funkcija po x data sa“ x”sin x ∼ ϕ = 3 “ x”π π P 1 + 7 „1 − 35π π= 3 πxπ + 7 „1 − 35 «π π 2 · 12π 2 «P 3“ xπ”„5 x3π 3 − 3 x π= 152π 2 „ 21π 2 − 1 «x + 352π 4 „1 − 15π 2 «x 3∼= 0.85698 x − 0.09339 x 3 .«Veličina najbolje aproksimacije je‖δ 3 ‖ 2 2 = (F, F) −=Z 1−13Xa 2 n (P n , P n )n=0(videti [2, str. 96]), s obzirom da je(sin πt) 2 dt − 9π 2 · 23 − 49 „π 2 1 − 15 « 2π 2 · 27 ∼ = 0.0088Z 1−1(sin πt) 2 dt =Uporedimo sada ova dva postupka.Z 1−11 − cos2πt2dt = 1 .Videli smo da u postupku 1 dolazimo do sistema linearnih jednačina iz kogaodred¯ujemo nepoznate koeficijente, dok kod postupka 2, kada se koriste odgovarajućiortogonalni polinomi (bilo da su klasični ili konstruisani Gram-Schmidtovimpostupkom ortogonalizacije), dobijamo direktno nepoznate koeficijente. Dakle,korišćenjem postupka 2 oslobod¯eni smo rešavanja sistema linearnih jednačina.Ukoliko bi se, eventualno, pojavila potreba za boljom srednjekvadratnom aproksimacionomfunkcijom u odnosu na već dobijenu, postupak 1 je takav da se prethodnirezultati ne bi mogli iskoristiti, tj. postupak bi se morao obnoviti, dok bi se,pri korišćenju postupka 2, samo izvršilo dodatno izračunavanje novih koeficijenata.Najzad, veličina najbolje aproksimacije se mnogo jednostavnije (efikasnije) izračunavakorišćenjem postupka 2.6.2.3. U skupu polinoma stepena ne višeg od m, naći najbolju srednjekvadratnuaproksimaciju funkcije x ↦→ f(x) = |x|, na segmentu [−1,1] satežinom x ↦→ p(x) = 1.