Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

KARAKTERISTIKE PROCESA I UBRZAVANJE KONVERGENCIJE 591y=x½y= ½cosx0a1/2Sl. 1.pa na [0, 1] postoji fiksna tačka a tako da je φ(a) = a.Startujući sa x 0 = 1 dobija sex 1 = 0.2701511529, x 2 = 0.4818652841, x 3 = 0.4430660154,x 4 = 0.4517207379, x 5 = 0.4498486540, x 6 = 0.4502564612,x 7 = 0.4501677605, x 8 = 0.4501870598,što znači a ∼ = 0.4502.b) Da bismo ubrzali konvergenciju, odredimo prvo red konvergencije datog procesa.Ako je a rešenje jednačine:a = 1 cos a,2tada jeOdavde jex k+1 − a = 1 2 (cos x k − cos a) = − sin x k − a2xlim k+1 − ak→+∞ x k − a =limk→+∞2−sin x k − a642x k − a2Dakle, red konvergencije datog iterativnog procesa je r = 1.− 1 2sin x k + a23· 12 sin x k + a 75 = − 1 sin a ≠ 0.2 2Naravno, do istog rezultata dolazimo ako uočimo da je Φ(a) = a i Φ ′ (a) =sin a ≠ 0 (videti [1, str. 188])..