Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

162 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAS obzirom da jeA k−1,k,k+1 =1 A k−1,ky k+1 − y˛˛˛˛ k−1A k,k+1y k−1 − yy k+1 − y ˛ (k = 1,2),dobijamoA 0,1,2 = 23.75, A 1,2,3 = 23.533.Najzad, imamoA 0,1,2,3 =1 A 0,1,2y 3 − y 0˛˛˛˛A 1,2,3y 0 − yy 3 − y ˛ = 23.642.Prema tome, f −1 (54.0) ∼ = 23.6.6.1.9. Na osnovu tri vrednosti funkcije f(x) : f(a), f(b), f(c) u blizininjenog maksimuma ili minimuma, naći približno vrednost x za koju funkcijaima tu ekstremnu vrednost.Rešenje. Na osnovu vrednosti funkcije u blizini ekstremuma formiramo Lagrangeovinterpolacioni polinom drugog stepenaP 2 (x) = f(a)(x − b)(x − c) (x − a)(x − c) (x − a)(x − b)+ f(b) + f(c)(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)i tražimo tačku u kojoj on ima ekstremnu vrednost. Imamo redomdP 2 (x)dxf(a)=(a − b)(a − c) [(x − c) + (x − b)] + f(b)[(x − c) + (x − a)](b − a)(b − c)f(c)+ [(x − b) + (x − a)] = 0 ,(c − a)(c − b)tj.»–f(a)2x(a − b)(a − c) + f(b)(b − a)(b − c) + f(c)(c − a)(c − b)=(b + c) f(a) (c + a)f(b) (a + b) f(c)+ +(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) .Rešavanjem poslednje jednačine dobijamo traženu vrednost za x:x =`b2 − c 2´f(a) + `c 2 − a 2´f(b) + `a 2 − b 2´f(c) .2[(b − c) f(a) + (c − a) f(b) + (a − b)f(c)]