Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

142 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMItj. sistem9x 2 + y 2 − 10 = 0, 4y + 2xy − 5 = 0,u okolini tačke (1,1). Transformišimo dati sistem na oblikx = 1 p10 − y3 2 , y = 1 (5 − 2xy).4Tada, odred¯ujemo niz tačaka (x k , y k ) metodom proste iteracijex k+1 = 1 3startujući sa x 0 = 1, y 0 = 1.q10 − y 2 k ,y k+1 = 1 4 (5 − 2x ky k ), k = 0,1, 2, . . . ,k x k y k 10 − y 2 k 2x k y k0 1.0000 1.0000 9.00000 2.00001 1.0000 0.7500 9.43750 1.50002 1.0240 0.8750 9.23437 1.79203 1.0129 0.8020 9.35680 1.62454 1.0196 0.8439 9.28783 1.71525 1.0159 0.8212 9.32563 1.66886 1.0179 0.8328 9.30644 1.69547 1.0169 0.8261 9.31748 1.68018 1.0171 0.8300 9.31110 1.68849 1.0171 0.8279 9.31458 1.684110 1.0173 0.8290 9.31276 1.686711 1.0172 0.8283 9.31387 1.685212 1.0173 0.8287 9.31324 1.686113 1.0173 0.8285U ovom slučaju, pre početka iterativnog procesa nismo ispitali uslove za njegovukonvergenciju, no na osnovu generisanih vrednosti x k , y k (k = 1,2, . . . ), konvergencijaje evidentna.Iz tabele se može videti da je rešenje sistema x ≈ 1.0173, y ≈ 0.8285. S obziromda je u toj tački∂ 2 f ∂ 2 „f ∂ 2 « 2∂x 2 ∂y 2 − f ∂ 2 f> 0,∂x∂y ∂x 2 > 0,zaključujemo da funkcija u toj tački ima strogi lokalni minimum. Odgovarajućavrednost funkcije je −10.086.