Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 1435.2.5. Dat je sistem nelinearnih jednačina:e x2 +y 2 = 3,x + y − sin 3(x + y) = 0.Konstruisati Newtonov metod za rešavanje ovog sistema.Rešenje. Uvedimo smenu promenljivihkojom sistem svodimo na oblikx 2 + y 2 = u, x + y = v,e u = 3, v − sin 3v = 0.Iz prve jednačine poslednjeg sistema dobijamo u = ln 3 ∼ = 1.098612. Za drugujednačinu imamo tri rešenja, što se može lako zaključiti skiciranjem grafika. Jednorešenje je v 0 = 0. Drugo rešenje se dobija primenom Newtonovog metoda na jednačinuf(v) = v − sin 3v,dok je treće rešenje kao i drugo, samo suprotnog znaka. Dakle, imamov 1∼ = 0.759621,v2 ∼ = −0.759621.Sada treba rešiti sisteme nelinearnih jednačina(1) x 2 + y 2 ∼ = 1.098612, x + y = 0,x 2 + y 2 ∼ = 1.098612, x + y ∼ = 0.759621,(2)x 2 + y 2 ∼ = 1.098612, x + y ∼ = −0.759621.(3)Sistem (1) se jednostavno rešava. Njegova rešenja su:x ∼ = 0.741152,y ∼ = −0.741152,ix ∼ = −0.741152, y ∼ = 0.741152.Za sistem (2), takod¯e, postoje dva rešenja. Nalazimo ih primenom metodaNewton–Kantoroviča na sistem jednačinaf 1 (x,y) ≡ x 2 + y 2 − 1.098612 ∼ = 0,f 2 (x,y) ≡ x + y − 0.759612 ∼ = 0.