Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 155Rešenje. Ako je funkcija f data svojim vrednostima f k ≡ f(x k ) u tačkamax k (k = 0,1, . . . , n), možemo je aproksimirati polinomom(1) P n (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + · · · + a n ,pri čemu je P n (x k ) = f k (k = 0, 1, . . . , n). Polinom (1) se zove interpolacionipolinom.Može se dokazati (videti [2, str. 12]) da je polinom (1) jedinstven, no on se možeformirati na različite načine.Ako polinom (1) konstruišemo na osnovu(2) P n (x) =gde jenXf(x k )L k (x),k=0L k (x) = (x − x 0) · · ·(x − x k−1 )(x − x k+1 ) · · ·(x − x n )(x k − x 0 ) · · ·(x k − x k−1 )(x k − x k+1 ) · · · (x k − x n ) ,tada ga zovemo Lagrangeovim interpolacionim polinomom.Ako koristimo podeljene razlike reda r, koje se definišu rekurzivno pomoću[x 0 , x 1 , . . . , x r ; f] = [x 1, x 2 , . . . , x r ; f] − [x 0 , x 1 , . . . , x r−1 ; f]x r − x 0,pri čemu je [x; f] = f(x), tada polinom (1) možemo predstaviti u obliku(3)P n (x) = f(x 0 ) + (x − x 0 )[x 0 , x 1 ; f] + (x − x 0 )(x − x 1 ) [x 0 , x 1 , x 2 ; f]+ · · · + (x − x 0 )(x − x 1 ) · · ·(x − x n−1 ) [x 0 , x 1 , . . . , x n ; f] ,i naziva se Newtonov interpolacioni polinom.Neka f ∈ C n+1 [a, b] i x i ∈ [a, b] (i = 0,1, . . . , n). Tada postoji ξ ∈ (a, b) takvoda se greška interpolacionog polinoma (1) može predstaviti u obliku(4) R n (f, x) = f(x) − P n (x) = f(n+1) (ξ)(n + 1)!ω(x),gde je ω(x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) · · ·(x − x n ) (videti [2, str. 14]).Aproksimirajmo sada funkciju x ↦→ f(x) = e x , na segmentu [0, 0.5], interpolacionimpolinomom, na osnovu sledećih podatakak 0 1 2x k 0.0 0.2 0.5f(x k ) 1.000000 1.221403 1.648721