Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

334 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA8.1.2. Primeniti Taylorov metod na problem(1) y ′ (x) = x 2 + y(x), y(1) = 1.Rešenje. Rešenje tražimo u obliku(2) y(x) = y(1) + y′ (1)1!(x − 1) + y′′ (1)2!Na osnovu (1), sukcesivnim diferenciranjem dobijamo(x − 1) 2 + · · · .y ′ = x 2 + y ,y ′′ = 2x + y ′ ,y ′′′ = 2 + y ′′ ,y (k) = y (k−1) ,y ′ (1) = 2 ,y ′′ (1) = 4 ,y ′′′ (1) = 6 ,y (k) (1) = y (k−1) (1) = 6 (k = 4,5, . . . ),pa je, na osnovu (2),(3) y(x) = 1 + 2 1! (x − 1) + 4 2! (x − 1)2 + 6+∞ Xk=3(x − 1) k.k!Uzimanjem samo konačno mnogo članova reda u (3) dobili bismo približnorešenje problema (1). Med¯utim, u ovom slučaju možemo prepoznati tačno rešenjeproblema (1). Naime, na osnovu (3) imamo(4)y(x) = 1 + 2(x − 1) + 2(x − 1) 2+∞ !X (x − 1) k+ 6k!k=0= 6 e x−1 − x 2 − 2x − 2 ,„− 6 1 + x − 1 +1!«(x − 1)22!s obzirom da jee x−1 =+∞ Xk=0(x − 1) k.k!8.1.3. Korišćenjem 1 ◦ Taylorovog metoda; 2 ◦ metoda neodred¯enih koeficijenata,rešiti Cauchyev problem(1) y ′ (x) = y(x) + 3x 2 − x 3 , y(1) = 1i prokomentarisati dobijeno rešenje.