Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

266 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAx f δf δ 2 f δ 3 f δ 4 f1.01.11.21.31.41.17521.33561.50951.69841.90430.16040.17390.18890.20590.01350.01500.01700.00150.00200.0005koju treba shvatiti po sledećoj šemi:x −2x −1x 0x 1x 2f −2f −1f 0δf −3/2δf −1/2δf 1/2f 1δff 3/2 2δ 2 f −1δ 2 δ 3 f −1/2f 0δ 2 δ 3 δ 4 f 0 .f 1/2f 1S obzirom da jeµδ k f i = δ k µf i = δ k 1”“f2 i+1/2 + f i−1/2 = 1 ”“δ k f2 i+1/2 + δ k f i−1/2 ,na osnovu formule (2) sa h = 0.1 i korišćenjem tablice centralnih razlika, nalazimo„f ′ (1.2) = Df(1.2) = Df 0∼ 1 0.1739 + 0.1889= − 1 «0.0015 + 0.002 ∼= 1.8111 .0.1 2 6 2Slično, na osnovu formule (3), imamo„f ′′ (1.2) = D 2 f(1.2) = D 2 f 0∼ 1 =(0.1) 2 0.015 − 1 «12 0.0005 ∼ = 1.4958 .Upored¯ivanjem dobijenih rezultata sa tačnim, primećujemo da greška raste sapovećanjem reda izvoda.Primetimo da bi se isti rezultati dobili i da smo koristili formule (2) i (3) izprethodnog zadatka.Uočimo, najzad, da se formula (1) može uspešno primeniti i na odred¯ivanjeDf(x i + h/2) = Df i+1/2 . Na primer,f ′ (1.15) = Df(1.15) = Df ∼ 1−1/2 =„δfh −1/2 − 1 «24 δ3 f −1/2∼= 1 „0.1739 − 1 «0.1 24 0.0015 ∼= 1.7383 ,a tačna vrednost je f ′ (1.15) = cosh(1.15) ∼ = 1.7374.