Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

264 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAPrimećujemo da su dobijeni rezultati dosta ,,slabiji‘‘ od odgovarajućih rezultatau (4) i (5). To je i logično s obzirom na smanjenu ,,količinu informacija‘‘ o funkciji,koju smo sada koristili.Razvijmo sada operator diferenciranja D po stepenima operatora prednje razlike∆. Kako je, na osnovu Taylorove formule,Ef(x) = f(x + h) = f(x) + f ′ (x)1!h + f ′′ (x)2!h 2 + · · · ,tj.sledujeEf(x) =„1 + Dh«+ (Dh)2 + · · · f(x) = e hD f(x),1! 2!(8) E = e hD .S druge strane imamo∆f(x) = f(h + x) − f(x) = (E − 1)f(x),odakle sleduje ∆ = E − 1, tj. E = 1 + ∆. Na osnovu (8) imamo(9) D = 1 log(1 + ∆) .hS obzirom da jedobijamo(log(1 + x)) ′ = 11 + x = 1 − x + x2 − x 3 + · · · ,log(1 + x) = x − x22 + x33 − x44 + · · · .Formalno, zamenjujući x operatorom ∆, na osnovu (9), imamo(10) D = 1 h„∆ − 1 2 ∆2 + 1 3 ∆3 − 1 «4 ∆4 + · · · ,a dalje, stepenovanjem,(11) D 2 = 1 „h 2 ∆ 2 − ∆ 3 + 11 «12 ∆4 − · · · .