Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

50 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAza svako x = (x 1 , . . . , x k ) ∈ R k p i u graničnom slučaju, kada p → +∞, Banachovprostor R k ∞ u kome je‖x‖ ∞ = max1≤j≤k |x j| .Definišimo sada operator T sa y = T x, koji preslikava prostor R k p (R k ∞) usamog sebe, na sledeći način: Tački x = (x 1 , x 2 , . . . , x k ) ∈ R k p (R k ∞) odgovaratačka y = (y 1 , y 2 , . . . , y k ) ∈ R k p (R k ∞), gde su koordinate y i odred¯ene say i =kXc ij x j + b i (i = 1,2, . . . , k) .j=1Nepokretne tačke preslikavanja T prostora Rp k (R∞) k u samog sebe su rešenjasistema (2). Da bismo mogli primeniti Banachov stav ostaje nam još da utvrdimopod kojim uslovima će T biti kontrakcija.Uzimajući, na primer, prostor R2 k imamo8kX < kX‖T x 1 − T x 2 ‖ 2 2 = c: ij x (1)j−=i=1i=1j=1j=1kXj=1c ij x (2)j89kX < kXc: ij`x(1) j− x (2) ´ =j ;pa je, na osnovu Hölderove nejednakosti, 12)8kX < kX kX‖T x 1 − T x 2 ‖ 2 2 ≤ c 2 `x(1) ij:j− x (2)ji=1j=1j=1´22,i=1 j=19=;9= kX kX; = c 2 ij ‖x 1 − x 2 ‖ 2 2 ,2tj.8< kX‖T x 1 − T x 2 ‖ 2 =:kXi=1 j=1c 2 ij9=;1/2‖x 1 − x 2 ‖ 2 .12) Neka su α k i β k (k = 1,2, . . . , n) proizvoljni kompleksni brojevi i neka je za p > 1broj q definisan sa 1 p + 1 q= 1. Tada je za svako n = 1,2, . . .n∑k=1|α k β k | ≤{∑ n} 1/p {∑ n|α k | pk=1k=1|β k | q } 1/q.Specijalno, ako je p = q = 2, Hölderova nejednakost se svodi Bunjakowsky-Cauchy-Schwarzovu nejednakost nejednakost.