Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 279odakle nalazimo R(x 4 ) = 16 ≠ 0. Prema tome, formula15(3)Z 1−1f(x)dx = f(−1) + f(1) − 1 3ima algebarski stepen tačnosti je p = 3.“”f ′ (1) − f ′ (−1) + R(f)Da bismo formulu (3) primenili za izračunavanje vrednosti integrala (2), uvedimosmenu t = π (x + 1). Tada imamo4I = π Z 1sin π 4 4 (x + 1) dx ∼ = π jsin 0 + sin π 4 2 − 1 3 · π “cos π ” ff4 2 − cos 0 ,−1tj.I ∼ = π “1 + π ”∼= 0.9910 .4 12Primetimo da je tačna vrednost integrala I = 1.7.2.4. Dokazati da za Newton–Cotesove koeficijente važi jednakost H k =H n−k (k = 0,1,... , [ n2]). Ako je n paran broj dokazati da je algebarskistepen tačnosti odgovarajuće Newton–Cotesove formule p = n + 1.Rešenje. Kao što je poznato (videti [2, str. 140])(1) H k = H k (n) = (−1)n−kn! n! Zn nk0p (n+1)p − k dp(k = 0, 1, . . . , n),gde je p (n+1) = p(p −1) · · · (p −n). Umesto k stavimo n −k u (1). Tada dobijamo(2) H n−k = (−1)kn! nnn − k! Z n0p n+1p − n + k dp .Smenom p := n − p ( ⇒ dp := −dp) u integralu koji se pojavljuje na desnoj straniu (2) dobijamoH n−k = (−1)kn! n! Zn n(n − p) (n+1)dp.n − k 0 −p + kKako je(n − p) (n+1) = (n − p)(n − p − 1) · · · (n − p − n)= (−p)(−p + 1) · · ·(−p + n)= (−1) n+1 p (n+1)