Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

108 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI|y 5 − x 5 | = 0.025 < ε izračunavamo z 5 = 1 (0.55 + 0.575) = 0.56252Kraj izračunavanja a = 0.5625 .5.1.7. Rešiti jednačinu f(x) = x 2 − e x + 2 = 0, sa tačnošću ε = 10 −4 ,korišćenjem metoda sečice, a zatim korišćenjem metoda regula falsi.Rešenje. Metod sečice, za rešavanje jednačine f(x) = 0 koja na segmentu[α, β] ima izolovan prost koren x = a, je dat formulom(1) x k+1 = x k −x k − x k−1f(x k ) − f(x k−1 ) f(x k) (k = 1, 2, . . .).Za startovanje ovog iterativnog procesa potrebne su dve početne vrednosti x 0 i x 1 .Geometrijski posmatrano, iteracija x k+1 kod metoda sečice je, u stvari, presekprave (sečice) koja prolazi kroz tačke M k (x k , f(x k )) i M k−1 (x k−1 , f(x k−1 )), sax–osom, odakle i proizilazi naziv metoda.Metod koji je veoma blizak metodu sečice je metod regula falsi i on se možeiskazati sledećom formulom(2) x k+1 = x k −x k − x if(x k ) − f(x i ) f(x k) (k = 1,2, . . . ),gde je i = max{k −1, k −2, . . . , 0} pod uslovom f(x k ) f(x i ) < 0. Startne vrednostix 0 i x 1 treba uzeti sa različitih strana korena jednačine.Jasno je da, geometrijski posmatrano, iteracija x k+1 po metodu regula falsipredstavlja presek prave koja prolazi kroz tačke M k (x k , f(x k )) i M i (x i , f(x i )), sax–osom.Ako je ε zadata tačnost, metod regula falsi algoritamski možemo iskazati krozsledeća četiri koraka:1 ◦ z 1 := α , x := α , y := β ;2 ◦ y − xz 2 = y −f(y) − f(x) f(y) ;3 ◦ Ako jef(x)f(z 2 ) < 0 uzeti y := z 2 ,4 ◦ Ako je> 0 x := z 2 ,= 0 Kraj izračunavanja a := z 2 ;|z 2 − z 1 | ≥ ε uzeti z 1 := z 2 i preći na 2 ◦ ,< ε Kraj izračunavanja a := z 2 .