Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

324 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAgde su C 1 i C 2 proizvoljne konstante. U konkretnom slučaju one se mogu odreditiiz početnih uslova za k = 0 i k = 1 `W 0 (cos θ) = 1, W 1 (cos θ) = 2cos θ + 1´.Dakle, iz uslova1 = C 1 , 2 cos θ + 1 = C 1 cos θ + C 2 sin θ,dobijamo C 1 = 1, C 2 = (1 = cos θ)/sin θ, što daje(4) W k (cos θ) = cos kθ + 1 + cos θsin θsin kθ =“sin k + 1 ”θ2sin θ 2(k = 0, 1, . . .).Kvadrat norme ovih polinoma se jednostavno izračunava‖W k ‖ 2 =Z 1−1r1 − x1 + x W k(x) 2 dx = 2Z π0sin 2“ k + 1 2”θ dθ = π.Na osnovu (4) eksplicitno nalazimo nule x k (k = 1, . . . , n) polinoma W n (x).“Dakle, iz sin k + 1 ”θ = 0 (θ ≠ 0) dobijamo2x k = cos θ k = cos2kπ2n + 1(k = 1, . . . , n),tako da odgovarajuća Gaussova formula ima oblikZ 1−1r1 − xn1 + x f(x)dx = XNa osnovu formule ([2, str. 169])k=1“A k f cos2kπ”+ R n (f).2n + 1A k = a n ‖W· n−1 ‖ 2a n−1 W n−1 (x k )W n(x ′ k )(k = 1, . . . , n),dobijamo težinske koeficijenteA k = 2n2 n−1 · π · 2sin2 (θ k /2)= 4π kπ2n + 1 2n + 1 sin2 2n + 1(k = 1, . . . , n),imajući u vidu da su x k = cos θ k , θ k = 2kπ/(2n + 1),W n−1 (x k ) =“sin n − 1 ”θ2 ksin θ k2= 2(−1) k+1 cos θ k2 ,