Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

176 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAko pretpostavimo da je funkcija f proizvoljan broj puta diferencijabilna, imamoEf(x) = f(x + h) = f(x) + h 1! f ′ (x) + h22! f ′′ (x) + · · ·„= 1 + hD «+ (hD)2 + · · · f(x)1! 2!odakle zaključujemo da važi(2) E = e hD .Na osnovu (1) i (2), imamoδ = e hD/2 − e −hD/2 = 2sinh hD 2 .Kako jeto jecosh hD „s12 = + sinh hD 2hD2 = log „sinh hD 2 + cosh hD 2s« 2 „ « 2 δ= 1 + ,201«= log @ δ „ « 2 δs12 + + A ,2tj.01(3) D = 2 h log @ δ „ « 2 δs12 + + A .2Posmatrajmo sada funkcijupg(x) = log`x + 1 + x 2 ´ .S obzirom da jeg ′ (x) = `1 + x 2´−1/2 ,posle razvoja u binomni red, dobijamog ′ +∞ X(x) = 1 +k=1!−1/2x 2k .k