Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

262 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJA7.1.3. Na osnovu skupa podatakax 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6f(x) 1.5095 1.6984 1.9043 2.1293 2.3756približno izračunati f ′ (1.4) i f ′′ (1.4). Dobijene rezultate uporediti sa tačnimvrednostima f ′ (1.4) = cosh(1.4) ∼ = 2.1509 i f ′′ (1.4) = sinh(1.4) ∼ = 1.9043.Rešenje. Aproksimirajmo funkciju x ↦→ f(x) interpolacionim polinomom x ↦→P 4 (x). S obzirom da je f(x) ∼ P 4 (x), imamo f (k) (x) ∼ P (k)4(x) (k = 1,2, . . . ).Kako su interpolacioni čvorovi x k = x 0 + kh (k = 0, 1,2,3, 4) ekvidistantni(x 0 = 1.2, h = 0.1), možemo konstruisati na primer, prvi Newtonov interpolacionipolinom:tj.P 4 (x) = f 0 + p∆f 0 ++p(p − 1)2!∆ 2 f 0 +p(p − 1)(p − 2)(p − 3)4!p(p − 1)(p − 2)3!∆ 4 f 0 ,∆ 3 f 0(1)P 4 (x) = f 0 + p∆f 0 + p2 − p2∆ 2 f 0 + p3 − 3p 2 + 2p6∆ 3 f 0+ p4 − 6p 3 + 11p 2 − 6p24∆ 4 f 0 ,gde je p = (x − x 0 )/h. S obzirom da jeP ′ 4(x) = dP 4dpdiferenciranjem jednakosti (1), dobijamo(2)P ′ 4(x) = 1 ha dalje, diferenciranjem (2), imamodpdx = 1 dP 4h dp ,„∆f 0 + 2p − 1 ∆ 2 f 0 + 3p2 − 6p + 2∆ 3 f 026+ 2p3 − 9p 2 − 11p − 312∆ 4 f 0«,(3) P 4 ′′ (x) = 1 „«h 2 ∆ 2 f 0 + (p − 1) ∆ 3 6p − 18p + 11f 0 + ∆ 4 f 0 .12