Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El cuerpo de los números complejos 5
Problema 3 En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relación dada:
x + iy = xe iy ; x + iy = ye ix ; e x+iy = −1;
1 + i
= xeiy
1 − i
✎ x + iy = xe iy :
Si x = 0, entonces y = 0; si x = 0, y dado que xe iy = xcos y + ixsen y, debe ocurrir que cos y = 1 y, en tal
caso, seny = 0 e y = xsen y = 0. Por tanto, las soluciones son todos los complejos con parte imaginaria nula.
✎ x + iy = ye ix : Si y = 0, entonces x = 0; si y = 0, y dado que ye ix = y cos x + iy sen x, debe ocurrir que
sen x = 1 y en tal caso cos x = 0 y x = y cos x = 0; finalmente, dado que la igualdad y = iy no es posible para
ningún y = 0, deducimos que la única solución es (0,0).
✎ Dado que −1 = e iπ , las soluciones de la ecuación e x+iy = −1 son: x = 0 e y = π + 2kπ
✎ Dado que
1 + i
1 − i = i = eiπ/2 , las soluciones de la ecuación
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
1 + i
1 − i = xeiy son: x = 1 e y = π
2 + 2kπ