Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 130
Problema 68 Sea f una función de periodo 2π tal que su serie de Fourier converge uniformemente. Demostrar
que entonces se verifica la siguiente igualdad llamada identidad de Parseval.
π
[f(x)] 2
a
dx = π
2 0
2 +
∞
(a 2 n + b 2
n)
−π
Indicación: Usar la expresión en serie de Fourier de f, multiplicar ambos miembros por f(x) e integrar ambos
miembros sobre el intervalo [−π,π] usando la convergencia uniforme.
Dado que la serie de Fourier de f converge uniformemente, la función f es continua y es igual a su serie; a partir
de aquí seguimos la indicación del enunciado:
π
−π
f(x) = a0
2 +
f(x) 2 = a0
2
[f(x)] 2 dx = a0
2
∞
an cos nx + bn sen nx
n=1
f(x) +
π
−π
n=1
∞
anf(x)cos nx + bnf(x)sen nx
n=1
f(x)dx +
= a0
2 a0 +
∞
(an
n=1
π
−π
f(x)cos nxdx + bn
∞
(anπan + bnπbn) = π
n=1
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
a 2 0
2 +
π
∞
n=1
−π
f(x)sen nxdx)
(a 2 n + b2 n )