Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 197
Problema 105 Hallar todos los puntos del caracol r = 1 + 2sen θ que tienen tangente horizontal.
El ejercicio podría resolverse gráficamente a partir de la figura 4.7 teniendo en cuenta que el caracol r = 1+2sen θ
se obtiene girando π/2 radianes el caracol r = 1 + 2cos θ.
Las ecuaciones paramétricas del caracol son:
x(θ) = (1 + 2sen θ)cos θ = cos θ − sen 2θ y(θ) = (1 + 2sen θ)sen θ = sen θ + 2sen 2 θ
La deriva de de esta parametrización es:
x ′ (θ) = − sen θ − 2cos 2θ y ′ (θ) = cos θ + 4sen θ cos θ = cos θ(1 + 4sen θ)
Los puntos de tangencia horizontal corresponden a los ángulos, θ, tales que y ′ (θ) = 0, es decir, tales que cos θ = 0
o sen θ = −1/4. Los cuatro puntos son
(0,1), (0,3) para cos θ = 0; ( 3
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Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
√ 17, − 1
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), (−3
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√ 1
17, − ) para sen θ = −1
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