Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 61
Problema 32 Demostrar que la sucesión sen n no es convergente.
Hacemos uso de subsucesiones para demostrar este hecho: si la sucesión fuera convergente, toda subsucesión sería
convergente al mismo límite, pero vamos a construir dos subsucesiones que en tal caso tendrían diferentes límites.
Consideremos los intervalos Im = π 3π
4 + 2mπ, 4 + 2mπ , m ∈ N. Dado que la amplitud de estos intervalos es
mayor estrictamente que 1, necesariamente cada uno de estos intervalos contiene un número natural: sea mn ∈ N∩In
este número y consideremos la subsucesión bn = amn. Dado que sen amn > sen π
4 =
√
2
2 , si bn fuera convergente,
√
su límite sería mayor que
2
2 . De la misma forma, con los intervalos Jm = 5π 7π
4 + 2mπ, 4 + 2mπ , encontraríamos
√
2
una subsucesión que, de ser convergente, tendría un límite menor −
2 .
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde