Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 178
Problema 95 Hipocicloide. En este problema se hace rodar una circunferencia por el interior de una circunferencia
fija. En las mismas hipótesis que en el problema 15 se pide comprobar que las ecuaciones paramétricas del punto P
son:
b − a
x(θ) = (a − b)cos θ + bcos θ
b
b − a
y(θ) = (a − b)sen θ + bsen θ
b
Donde a es el radio de la circunferencia fija y b < a es el radio de la móvil. La figura 4.3 muestra algunos ejemplos
de hipocicloides.
En la parte inferior de la figura 4.3 de la página 179 mostramos como se describe un punto de la hipocicloide.
En primer lugar observamos que aθ = −bφ (el signo se debe a que el ángulo φ crece en sentido contrario a θ) y por
tanto, φ = −a b−a
bθ y φ + θ = b θ. Por otra parte, cuando la circunferencia móvil ha girado un ángulo θ, el centro de
esta se encuentra en ((a − b)cos θ,(a − b)sen θ). A partir de aquí, la figura nos ayuda a deducir que:
x(θ) = (a − b)cos θ + bcos(θ + φ)
x(θ) = (a − b)sen θ + bsen(θ + φ)
Sustituyendo φ por −a bθ, obtenemos las ecuaciones del enunciado.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde