Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 539
Problema 272 1. La densidad en cada punto de una placa cuadrada de un metro de lado es 4 + r 2 gramos por
centímetro cuadrado, donde r es la distancia en centímetros desde el punto al centro de la placa. ¿Cuál es la
masa de la placa?
2. ¿Cuál es la masa de la placa si r es la distancia al vértice inferior izquierdo de la placa.
1. Supongamos que la placa está situada sobre el plano XY con los lados paralelos a los ejes coordenados y con
su centro sobre el origen; entonces, la distancia de cada punto (x,y) de la placa al centro es r = f(x,y) =
x 2 + y 2 . La masa de la placa se calcula como sigue:
1/2 1/2
−1/2
−1/2
(4 + r 2 )dxdy =
1/2 1/2
(4 + x
−1/2 −1/2
2 + y 2 1/2
)dxdy =
−1/2
49
+ y2 dy =
12 25
6
2. En este caso situamos la placa con el vértice inferior izquierdo sobre el origen de coordenadas y en el primer
cuadrante de plano. De esta forma, volvemos a tener r = x 2 + y 2 y la masa de la placa es:
1 1
0
0
(4 + r 2 )dxdy =
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
1 1
(4 + x
0 0
2 + y 2 1
)dxdy =
0
13
3
+ y2
dy = 14
3