Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 487
1
y
y
0
(a) La región sobre la que estamos integrando es el triángulo sombreado de la figura. El orden de integración en
la expresión del enunciado equivale al siguiente proceso de cálculo: en primer lugar, para cada x, hallamos el área
A(x) = 1
x xy dy de la sección por el plano X = x (para cada x, el recorrido de integración es el segmento vertical
que se representa en la figura); a continuación, integramos la función A(x) en el intervalo [0,1]. Si ahora queremos
invertir el orden de integración, el proceso de cálculo resultante sería el siguiente: en primer lugar, para cada y,
hallamos el área B(y) = y
0 xy dx de la sección por el plano Y = y (para cada y el recorrido de integración es el
segmento horizontal que se representa en la figura); a continuación, integramos la función B(y) en el intervalo [0,1].
En resumen, la igualdad obtenida es
1 1
0
x
xy dy dx =
x
1
x
1 y
0
0
1
xy dxdy
(b) (Léase la introducción de la solución y véase el apartado anterior). En este caso, el nombre de las variables
no indica a priori la correspondencia con las coordenas cartesianas; para evitar posibles confusiones, cambiamos las
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde