Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El cuerpo de los números complejos 16
Problema 11 El objetivo de este ejercicio es calcular el coseno de los ángulos π/5 y 2π/5.
1. Sea z = cos θ + isen θ una raíz quinta de −1. Probar que, si z = −1, entonces z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = 0 y
deducir que 4cos 2 θ − 2cos θ − 1 = 0. Concluir que cos π/5 = 1
4 (√ 5 + 1).
2. Sea z = cos θ + isen θ una raíz quinta de la unidad. Probar que, si z = 1, entonces z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 y
deducir que 4cos 2 θ + 2cos θ − 1 = 0. Concluir que cos 2π/5 = 1
4 (√ 5 − 1).
Efectivamente, el valor de los cosenos de los ángulos pedidos está relacionado con las raíces quintas de 1 y de
−1, ya que, por la fórmula de Moivre:
π π5
cos + isen = cos π + isen π = −1
5 5
2π 2π5
cos + isen = cos 2π + isen 2π = 1
5 5
Vamos a explicitar la solución del primer apartado, puesto que la del segundo es exactamente igual. La primera
afirmación del enunciado es trivial, puesto que una simple división de polinomios prueba que:
Dado que z = cos π π
5 + isen 5
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
z 5 + 1 = (z + 1)(z 4 − z 3 + z 2 − z + 1)
es una de las cinco raíces quintas de -1 distinta de -1, este numero debe ser raíz del