Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 475
Debemos recordar que si la región de integración no es un rectángulo, la integral se define como:
f(x,y)dxdy = f(x,y)dxdy
D
en donde R es un rectángulo que contiene a D y el campo f se define como: f(x,y) = f(x,y) si (x,y) ∈ D y
f(x,y) = 0 si (x,y) ∈ D. La figura de arriba muestra la región de integración D, el rectángulo [−2,2] × [0,4] que
contiene a dicha región y la partición descrita en el enunciado. La parte sombreada corresponde a las subintervalos
de la partición que tocan a la región D, de tal forma que los sumandos de la correspondiente suma de Riemann
pueden tomar un valor no nulo; los puntos resaltados, son los puntos elegidos para la suma de Riemann y que estan
contenidos en la región D. Dado que el área de cada cuadrado es 1/4, la suma de Riemann pedida es:
R = 1
4
i,j
R
f(x ∗ i,x ∗ j)
Es fácil observar que esta suma vale 0, puesto que: para los puntos tales que x∗ i = 0, la función vale 0 y para el resto
de los puntos se verifica que f(x∗ i ,y∗ j ) = −f(x∗ i ′ y en consecuencia los sumandos se anulan dos a dos. Las mismas
observaciones de simetría de la región de integración y de la función permiten concluir que la integral de la función
vale 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde