Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Optimización no-lineal 323 El jacobiano de la función g(x,y,z) = (2x − y,y + z) es Jg(x,y,z) = 2 −1 0 0 1 1 Entonces, el polinomio característico en el punto crítico es: 0 p(λ) = Jg(a) Jg(a) t HF(a) − λI = 0 0 2 0 0 0 2 0 2 − λ −1 1 0 0 1 0 −1 1 0 −λ 0 0 1 0 0 −2 − λ y en consecuencia, el punto es efectivamente máximo. = 9(−λ − 2 3 ) Obsérvese que en este caso la forma cuadrática es indefinida y no podemos evitar el uso del corolario ??, como hicimos en el ejercicio 33. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
Optimización no-lineal 324 Problema 169 (a) Hallar el valor máximo de w = xyz entre todos los puntos pertenecientes a la intersección de los planos x + y + z = 40 y z = x + y. (b) Argumentar geométricamente el hecho de que haya resultado un valor máximo (y no un mínimo) de xyz sujeto a las restricciones. (a) La función lagrangiana asociada al problema es L(x,y,z,λ,µ) = xyz − λ(x + y + z − 40) − µ(z − x + y) y el sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos x + y + z − 40 = 0 z − x + y = 0 yz − λ + µ = 0 xz − λ − µ = 0 xy − λ − µ = 0 La única solución de este sistema es el punto (20,10,10), con λ = 150 y µ = 50. Consideremos la función F(x,y,z) = L(x,y,z,150,50) = xyz − 150(x + y + z − 40) − 50(z − x + y) Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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