Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 325
La matriz hessiana de esta función es
⎛ ⎞
0 z y
⎜ ⎟
HF(x,y,z) = ⎝ z 0 x ⎠ ;
⎛
0
⎜
HF(20,10,10) = ⎝ 10
⎞
10 10
⎟
0 20 ⎠
y x 0
10 20 0
El jacobiano de la función g(x,y,z) = (x + y + z − 40,z − x + y) es
1 1 1
Jg(x,y,z) =
−1 1 1
Entonces, el polinomio característico en el punto crítico es:
0
p(λ) =
Jg(a)
Jg(a)
t
HF(a) − λI =
0 0 1
0 0 −1
1 −1 −λ
1 1 10
1 1 10
1
1
10
−λ
20
1
1
10
= 8(−λ − 20)
20
−λ
y en consecuencia, el punto es efectivamente máximo.
(b) Una interpretación geométrica del problema es la siguiente: dado un punto (x,y,z) de la recta dada (que es
paralela al plano XY y corta a los planos XZ e Y Z), podemos construir un paralepípedo con dos vértices
opuestos en el origen y en (x,y,z) y cuyas caras son paralelas a los planos XY , XZ e Y Z; en esta situación,
w = xyz nos da el volumen de este paralepípedo. El volumen mínimo es 0 (corresponde a los casos defectivos)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde