Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 501
Problema 254 Hallar la integral de la función f sobre la región R indicada:
(a) f(x,y,z) = y sobre la región acotada por z = 1 − y 2 , x = 0, x = 4 y z = 0. Usar simetría.
(b) f(x,y,z) = yz sobre la región acotada por los planos coordenados y los planos x + y = 1 y z = 4.
(a) Para cada x ∈ [0,4] y cada y ∈ [−1,1], 0 ≤ z ≤ 1 − y 2 y por tanto, la integral pedida es
4 1 1−y2 0
−1
0
y dz dy dx =
4 1
0
−1
y(1 − y 2 )dy dx =
4
0
0dx = 0
Este resultado lo podíamos haber deducido sin realizar la integral; dado que la región es simétrica respecto
del plano Y = 0 y la función verifica que f(x, −y,z) = −f(x,y,z), la integral sobre la mitad de la región con
y ≤ 0, es igual a la integral sobre la otra mitad pero con signo contrario; por tanto, la integral propuesta se
puede descomponer en dos integrales que se anulan.
(b) Para cada z ∈ [0,4] e y ∈ [0,1], se tiene que 0 ≤ x ≤ 1 − y; por tanto, la integral propuesta es:
4 1 1−y
0
0
0
yz dxdy dz =
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
4 1
0
0
(1 − y)yz dy dz =
4
0
1 8
z dz =
6 9