Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El cuerpo de los números complejos 17
polinomio de grado 4; llamando α = cos π
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y β = sen π
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y sustituyendo z por α + iβ en dicho polinomio, obtenemos:
0 = z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = α 4 + 4iα 3 β − 6α 2 β 2 − 4iαβ 3 + β 4
− α 3 − 3iα 2 β + 3αβ 2 + iβ 3
+ α 2 + 2iαβ − β 2
− α − iβ + 1
Por lo tanto, tanto la parte imaginaria como la parte real de la expresión de la derecha deben ser 0. Debemos
serparar y simplificar ambas partes para obtener la expresión más sencilla posible; en este caso, la expresión mas
simple se obtiene de la parte imaginaria, pero el lector debería desarrollar igualmente la parte real para comprobarlo.
Dividiendo por β obtenemos:
0 = 4α 3 β − 4αβ 3 − 3α 2 β + β 3 + 2αβ − β
0 = 4α 3 − 4αβ 2 − 3α 2 + β 2 + 2α − 1
Dado que tenemos que obtener un polinomio en α, sustituimos β 2 por 1 − α 2 :
0 = 4α 3 − 4α + 4α 3 − 3α 2 + 1 − α 2 + 2α − 1
= 8α 3 − 4α 2 − 2α
Finalmente, dividiendo por 2α obtenemos el polinomio buscado:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
0 = 4α 2 − 2α − 1