Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 306
Problema 160 Hallar los puntos sobre la curva x 2 + xy + y 2 = 1 más próximos y más alejados del origen.
Como decíamos en el ejercicio anterior, este problema no lo podemos resolver reduciendolo a una variable, ya
que no tenemos expresiones que nos caractericen los puntos de la curva del enunciado (o bien, tal expresión no es
sencilla) y por tanto, la mejor forma de plantear el problema es usando el método de los multiplicadores de Lagrange.
La función que tenemos que minimizar es
f(x,y) = x 2 + y 2
y por tanto, la función lagrangiana asociada al problema es
L(x,y,λ) = x 2 + y 2 − λ(x 2 + xy + y 2 − 1)
El sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos es:
x 2 + xy + y 2 − 1 = 0
2x − 2λx − λy = 0
2y − 2λy − λx = 0
y las soluciones son: (1/ √ 3,1/ √ 3) y (−1/ √ 3, −1/ √ 3) con λ = 2/3 y (1, −1) y (−1,1) con λ = 2.
Para clasificar estos puntos, tenemos que considerar las funciones
F1(x,y) = L(x,y,3/2) = 1
3 x2 + 1
3 y2 − 2 2
xy +
3 3
F2(x,y) = L(x,y,2) = −x 2 − y 2 − 2xy + 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde