Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 515
Problema 260 Hallar el volumen de la región dada usando una integral triple en coordenadas esféricas:
(a) La región entre los conos z 2 = x 2 + y 2 y 3z 2 = x 2 + y 2 y bajo la semiesfera z = 4 − x 2 − y 2 .
(b) La región acotada lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 = 4, superiormente por el cono z = x 2 + y 2 e
inferiormente por el plano Z = 0.
(c) La región acotada inferiormente por el plano z = b, superiormente por el plano z = c y lateralmente por la
esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , para −a < b < c < a. Expresar el volumen como una diferencia de integrales.
Recordemos que la fórmula de integración en coordenadas esféricas es:
f(x,y,z)dxdy dz = f(ρsenφcos θ,ρsen φsen θ,ρcos φ)ρ 2 |cos φ|dφdθ dρ
R
donde R y R ′ representan la misma región del plano definida por coordenadas cartesianas y por coordenadas esféricas
respectivamente. (!No debe olvidarse el valor absoluto de la fórmula!)
Por tanto, si tenemos una región del plano S definida por coordenadas esféricas, su volumen es:
V = ρ 2 |sen φ|dφdθ dρ
(Ver el segundo apartado del ejercicio 27)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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